“蝴蝶效应”－－－广州“肺炎恐慌”的传播与扩散

施爱东

蝴蝶效應
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氣象學家Lorenz提出一篇論文，名叫「一隻蝴蝶拍一下翅膀會不會在Taxas州引起龍捲風？」論述某系統如果初期條件差一點點，結果會很不穩定，他把這種現象戲稱做「蝴蝶效應」。就像我們投擲骰子兩次，無論我們如何刻意去投擲，兩次的物理現象和投出的點數也不一定是相同的。Lorenz為何要寫這篇論文呢？

這故事發生在1961年的某個冬天，他如往常一般在辦公室操作氣象電腦。平時，他只需要將溫度、溼度、壓力等氣象數據輸入，電腦就會依據三個內建的微分方程式，計算出下一刻可能的氣象數據，因此模擬出氣象變化圖。

這一天，Lorenz想更進一步了解某段紀錄的後續變化，他把某時刻的氣象數據重新輸入電腦，讓電腦計算出更多的後續結果。當時，電腦處理數據資料的數度不快，在結果出來之前，足夠他喝杯咖啡並和友人閒聊一陣。在一小時後，結果出來了，不過令他目瞪口呆。結果和原資訊兩相比較，初期數據還差不多，越到後期，數據差異就越大了，就像是不同的兩筆資訊。而問題並不出在電腦，問題是他輸入的數據差了0.000127，而這些微的差異卻造成天壤之別。所以長期的準確預測天氣是不可能的。

施爱东

  
            蝴蝶效应与亚洲金融危机

                 纪 昀

    自去年七月初泰铢贬值后，一场金融风暴席卷亚洲，导致这一地区出现近30年来最为严重的经济危机，汇率大贬，物价飞涨，股市崩溃，人心惶惶。目前，亚洲金融危机又有新发展，大有引发世界性通货紧缩之势。本文试从混沌学理论中的蝴蝶效应入手，分析泰国爆发金融危机以及引发亚洲区域性金融危机的原因，并说明了蝴蝶效应缘何能在危机中产生重大影响。
                              一
    蝴蝶效应是混沌学理论中的一个概念。它是指对初始条件敏感性的一种依赖现象：输入端微小的差别会迅速放大到输出端压倒一切的差别，好象一只蝴蝶今天在北京扇扇翅膀，可能在大气中引发一系列事件，从而导致某个月纽约一场暴风雨的发生。
    蝴蝶效应在经济生活中比比皆是：中国宣布发射导弹，港台100亿美元流向美国；泰铢实行自由浮动，引发亚洲金融危机和全球性股市下挫，等等。我们还可以举出许多例子。
    一般来说，蝴蝶效应产生要有三个基本条件：
    1、初始条件的误差。没有误差就不会有后来的混乱，而且这一误差是牵一发而动全身的临界点。经济生活中呈现的混沌状态则意味这着这种临界点无处不在。
    2、事物间存在相互依赖性。由于事物之间有相互依存关系，使得一个小小的误差有可能通过一条条相关链传送放大，最好导致不堪设想的后果。研究表明：事物间的相互依赖度越高，发生蝴蝶效应的可能性越大，因为较高的依存度使得一方的误差往往会对其他各方造成巨大影响，进而被逐步扩大，形成难以预测的结局。
    3、非线性因素的介入。以不可预测性为特征的非线性因素的介入，扰乱了原有线性系统内的正常秩序，事物间可确定的关系被不可确定所替代，使得由初始条件误差引起的一系列后发事件发生在混沌与秩序的边缘，从而产生不可测度的多样性后果。

（后面的金融分析略去）

施爱东

系统与系统平衡浅谈  
知返鸟



    系统

    系统是一个相对封闭的具有一定稳定性 、独立性的组织。世界上所有事物都可以以某种标准划分为不同的系统。每一个系统都是上一级系统的子系统，每一个系统内部都有子系统。从大的尺度来说，系统由宇宙、地球、国家、家庭、个人等基本系统组成。从小的尺度讲，系统由细胞、基因、分子、原子、基本粒子、夸克等组成。
    宇宙是人类所知道的最大系统。是无数系统与子系统的集合。
    由系统的概念可以知道，系统的划分是一种人为的分类，同一个系统同时受到多个系统的交叉影响。系统具有一定的独立性，同类系统具有相似的运行机制，并具有相对的稳定性，系统论就是研究系统与系统、系统与子系统、子系统与子系统之间的相互关系与变化规律的理论。

    系统平衡

    系统平衡是系统需要达到的最终目的，此时系统表现出静止或无限循环的状态。只有在完全封闭的状态下，才可能达到系统的完全平衡。正因为系统的完全封闭，系统当中的子系统才会因为系统本身的限制，而与系统中的其它子系统逐步达到力量的均衡，最终使系统处于静止或无限循环的完全平衡状态。
    一个完全封闭、绝对独立的系统在宇宙中是不存在的，所有的系统都处于相对封闭相对独立的状态，因此，系统的完全、绝对的平衡也是不存在的，任何一个系统都要受到独立于本系统之外的其它系统的影响，使系统本身一直处于不断改变的过程之中，此时，系统主要受到两方面的影响，一是系统内部子系统之间的相互作用所造成的影响，二是外系统的影响。系统总是期望达到两者之间的平衡，从而造成了一种对平衡的需求，即平衡需要。
    任何一个系统都处于一种相对平衡的状态，并且朝着系统的绝对平衡这个方向不断地改变变化着，但却永远实现不了本系统的绝对平衡，只能是不断地接近这个目标，并且作为一个更大系统的子系统参与到更大系统的平衡运动中去。

    系统关系

    系统之间的相互关系是极为错综复杂的。气象学家洛伦兹在1963年讲述了一种“蝴蝶效应”：南美洲亚马逊河流域热带雨林中一只蝴蝶偶尔扇动了几次翅膀，所引起的微弱气流对地球打气的影响可能随时间增长而不是减弱，甚至可能在两周后在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。可能造成这种现象的原因是，蝴蝶的翅膀扇动这种蝴蝶身体系统内部的运动导致身边的空气系统发生变化并引起微弱气流的产生，而微弱气流又会引起它四周的空气或其它系统产生相应的变化，由此而引起的连锁反应最终可能导致其它系统的极大变化。
    要将所有大大小小的系统完整地区分开来是不可能的事，因为系统之间的关系往往是相互交叉的，绝大多数子系统同时受到多个系统的控制而运行着，只不过有的系统的控制对它起着重要的决定性的作用。对子系统影响的大小是判断子系统最好归类于哪一个系统的关键。子系统的变化会引起与它有关的所有系统和子系统发生变化，而被影响的系统和子系统又引起与它们有关的所有系统和子系统发生改变，发生变化的系统数量以几何级倍数增长，这是导致“蝴蝶效应”的主要原因。
    “蝴蝶效应”如果没有控制的演化下去，恐怕会在整个小宇宙中掀起一场大灾难，所以，它定要受到控制，控制洛伦兹的超级蝴蝶的，就是我们的地球。对人类来说，地球是一个极为重要的系统概念。它受到内部由放射性元素为燃料的看不见的“发动机”和外部来自于太阳的太阳能两方面的驱动，在几十亿年中一直保持着相对独立、相对平衡的状态，地球是一个相对独立的平衡的系统，地球数千千米厚的大气层足以使“蝴蝶效应”遁于无形。也就是说，“蝴蝶效应”在它的上一级系统中有可能得不到控制，但在地球这样关键的一级系统中得到了控制。象地球这样的关键系统在自然界中在系统科学中的研究中是非常重要的，它可以使过分复杂的问题简单化。
    系统内部子系统受系统内部运行规律的控制，但子系统的变化可以导致系统内部其它子系统的运行方向及规律发生改变，也可以导致系统本身运行机制的改变。系统是母系统的子系统，受母系统运行规律的控制，系统可以打破母系统的运行规律，从而改变系统所处的环境。但系统仍受到更高级系统的控制。

    系统平衡模型简述

    由耗散结构理论人们知道，如果在远离平衡的地方，原来无序运动的无数物质间的相互作用是短程的，随时都处于混乱的无规律的状态，那么随着时间的推移，这种相互作用的短程性将逐渐演化为长程性，也就是说，逐渐演化为各种不同的规律，而每一种规律所支配的那一部分物质就组成了一个具有相对稳定性的独立的组织，也就是系统。我们给这些系统加一些限制，让它们在固定的区域内运行，假设为A。这些从无序中产生的许多系统也就成为A的子系统在更大的A区域内运行。由于不考虑时间的因素，这些子系统相互之间的作用同样会由短程性逐渐演化为长程性，也就是说，它们会在A区域内产生更大的子系统。这种演化无限期地进行下去，就会导致这样的结果：所有的物质都在同一种规律的支配下有序地稳定地运行而会发生其它的变化，这就意味着，在A区域内只有一个恒定的不变的系统，系统内的运动遵循同一个规律无限地循环下去。这就是系统平衡模型，它必须满足两个条件：一是所有的物质或子系统在一个绝对封闭的系统内运行；二是时间无期限。系统平衡的结果只有两种可能，要么静止，要么无限循环。
    在现实中，上述系统模型是根本不可能存在的，因为任何一个系统都不可能完全封闭，只可能处于相对封闭的状态。这就意味着，任何一个系统都不可能永远不变地存在下去，而任何一个系统受同一种规律的支配可能是短程的，也可能是长程的，但绝不是无限期的。人们所知道的所有物的系统，从微小的夸克到已知的浩瀚的宇宙，都只是处于一种长程的或短程的运行趋势之中。人们应该感到庆幸，正因为已知宇宙的开放性，才使它内部的所有系统没有按照同样相同的规律运行下去，才在不断演化的时空之中产生了复杂的组织结构——生命，要知道，即使是在最简单的细胞中，新陈代谢的功能也包括有成千上万个耦合的化学反应，每一个化学反应都必须遵循不同的规律，因此生命系统是都是特别复杂精巧的系统结构。

[ 本帖由 施爱东 于 2003-2-14 18:20 最后编辑 ]

施爱东

什么是混沌运动呢?在确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动形式就叫做混沌运动。在某些牛顿力学方程所描述的运动中，如果精确地从同一点出发，得到的仍是同一条确定的轨道，然而，只要初始条件有无论多微小的改变，其后运动就会失之毫厘，差之千里，变得面目全非。实际上这些运动的结果可能同掷骰子所得的结果一样，是随机和不可预测的。

混沌运动的结果就会导致“蝴蝶效应”。打个比方，南美洲亚马逊河流域热带雨林中一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，所引起的微弱气流对地球大气的影响可能随时间增长而不是减弱枣进入特定的运动模式，甚至可能在两周后在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。这是气象学家洛伦兹发现大气状况“起始值”的细微变化，足可以使非周期性的气象变化轨道全然改观而提出的。

“蝴蝶效应”说明了什么?能引起我们什么样的思考?今年（1998年）亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的“蝴蝶效应”；今年（1998年）太平洋上出现的“厄尔尼诺”现象就是大气运动引起的“蝴蝶效应”。“蝴蝶效应”是混沌运动的表现形式。当我们进而考察生命现象时，既非完全周期，又非纯粹随机，它们既有“锁频”到自然界周期过程(季节、昼夜等)的一面，又保持着内在的“自治”性质。

人类是高级生命，有着生命的特有节律，也可说既非完全周期，又非纯粹随机。现代科学发现的人体智力、体力、情绪节律是以出生时间为出发点的周期性规律，但人类生命还有非线性的一面，随着生命运动各种参数的介入，随机区域可能不断扩大，以至并吞掉规则运动的区域，这就形成生命运动的“蝴蝶效应”。生命的混沌运动导致的结果，会引发人的重大伤病灾以至更大的灾难。

广东 谢涛羽

施爱东

“蝴蝶效应”、“失之毫厘”及其他

余道游

    大约自70年代以来，不知不觉中，混沌成了一个“热门”话题，成了学术界的一颗“新星”。

    生活在本世纪初叶的人们，经历了相对论和量子力学这两次科学革命。现在，激动人心的相对论革命和量子力学革命已经成为了历史；虽然那还只是刚刚逝去的历史，但毕竟已成为了历史。而混沌革命却是我们正在经历的革命。

    有人说：“20世纪的科学家只有三件事将被记住：相对论、量子力学和混沌。他们主张，混沌是本世纪物理学中第三次大革命。就像前两次革命一样，混沌割断了牛顿物理学的基本原则。如同一位物理学家所说：‘相对论排除了对绝对空间和时间的牛顿迷梦；混沌则排除了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想。'在这三大革命中，混沌革命适用于我们看得见、摸得到的世界，适用于和人自己同一尺度的对象。”（布莱克：《混沌棗开创新科学》）

    在相对论、量子力学、混沌这本世纪的三大物理学革命中，相对论涉及的时空尺度太大了，大得使“普通人”难以想象；量子力学涉及的时空尺度太小了，小得也使“普通人”难以想象；而混沌革命却适用于“普通人”看得见、摸得到的世界，这真是一件应该让“普通人”感到格外高兴和格外有趣的事。

    混沌理论研究中得到的一个重要结果是所谓“蝴蝶效应”。1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。

    “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。

    从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征棗系统的长期（按：何谓“长期”，对不同系统而言可能有很大差别）行为对初始条件的敏感依赖性。

    经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。

    可是，混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首民谣对此作一形象的说明。这首民谣说：

    丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；

    坏了一只蹄铁，折了一匹战马；

    折了一匹战马，伤了一位骑士；

    伤了一位骑士，输了一场战斗；

    输了一场战斗，亡了一个帝国。

    请看，马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国或存或亡这样根本性的差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。

    说到这里，不禁使我们想起“失之毫厘，差以千里”这句中国传统的古语。

    “失之毫厘，差以千里”出自《太史公自序》。司马迁说这是《易》中之语。可是，在通行本《周易》和帛书《周易》中都找不到这句话。日本泷川资言《史记会注考证》云：“《大戴记·礼察篇》、《礼记·经解篇》并云：易曰：君子慎始，差若毫厘，谬以千里。”由此可证，“失之毫厘，差以千里”当确系出自为司马迁等人的引用才使得古“易传”中的这一光辉思想流传至今而未至失传。

    “失之毫厘，差以千里”的古训和“蝴蝶效应”的现代科学理论都告诫我们：要特别注意初始条件、初始状态、基本理论出发点上的微小差别，要对这方面的微小差别保持高度的“敏感性”。

流萤

感觉很有意思啊，列维—斯特劳斯的神话理论是不是跟这个有点相通的地方？

施大侠是不是想用这个做研究啊，好玩，小女子我很喜欢看这样的文章。
[ 本帖由 流萤 于 2003-2-14 21:59 最后编辑 ]

温柔地思想

温柔兄不幸学过气象，对所谓蝴蝶效应略知一二，蝴蝶扇动翅膀，引起龙卷风，并非因为蝴蝶，而是因为大气状态不稳定，当大气的温度、湿度、压力等状态处于不稳定状态时，即是蝴蝶不扇动，而是施大侠家床底下的文字抖动一下胡子，也可能引起一场横扫太平洋的飓风。广州之乱之其因，也许是因为蝴蝶扇动了一下翅膀，但蝴蝶翅膀扇起的气浪没有掀动芝加哥，而是扇动了广州，归根结蒂，还是因为广州人（中国人）内心深处的那种不稳定感，对现实和未来的担忧。——看来我们离小康社会还很远。

施爱东

温柔兄说的是，气象学上，常把边界条件作为固定数据设置好，然后计算初始振荡的变化引发的剧烈振荡。
你说的广州人（中国人）内心深处的那种不稳定感，对现实和未来的担忧，我们可以把它当作边界数据看待。

施爱东

熵 -- 博客：路程 发表于2004-3-29 15:27:10

     

象混沌系统一样，文化演进是一个涨落的过程。一个小小的因素可能会呈指数倍地放大。一个哲人的灵感可能会形成一种传统，影响一个民族上千年；一项科学发现可能会改变整个人类的生产和生活方式，一起枪杀事件可能会导致世界战争……这些现象仅仅是用必然性与偶然性辩证关系的思辩是不能令人满意的，它其实是文化动力系统中的“蝴蝶效应”。在文化系统中，不同价值、不同文化特质、不同的意志和选择，使得文化系统中存在无穷的干扰因素，因而“蝴蝶效应”具有普遍性。

文化的演进也存在迭代现象，这就是文化传播中的强化效应。某种思想或价值取向被吸收、溶进特定的文化系统中，并经过该文化的创造，然后输出，影响更多的人。一种文化特质被另一文化集团（民族）所接受，他们反过来作为传播者对更多的人施加影晌，这个过程类似混沌学中的迭代。通过迭代，一种很小的文化特质会被放大，一种偶然的、不起眼的现象会风行一时。印度人的数字对近代数学的影响、中国的四大发明对近代世界史的影响，可以看作一种迭代现象。

文化的这种跳跃性、随机性涨落以及它的迭代行为使文化的演进呈发散性趋势，它不遵循确定的轨迹。不过，它仍能形成某种集合。如果我们把时间、地域、民族、条件看作文化系统的相空间，则文化传统、民族习惯、价值观念、行为模式等，可以被看作文化的奇异吸引子。个人的行为、个别的文化现象完全是随机的，但又能约束在一定的范围和模式内。

分支或分叉也是文化演进中的常见现象。文化在传播、吸收、演进过程中，普遍存在一源多流、一流多源、多流多源现象，存在不同源流的分野与融合，使得文化演进呈弥漫态，以致我们要想清晰地梳理它们简直是不可…………
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耗散结构 -- 博客：路程 发表于2004-3-29 15:19:32
耗散结构 (dissipative structure) 关于“耗散结构”的理论是物理学中非平衡统计的一 个重要新分支，是由比利时科学家伊里亚·普里戈津(I．Prigogine)于20世纪70年代提出的，由 于这一成就，普里戈津获1977年诺贝尔化学奖。差不多是同一时间，西德物理学家赫尔曼·哈肯 (H．Haken)提出了从研究对象到方法都与耗散结构相似的“协同学”(Syneraetics)，哈肯于 1981年获美国富兰克林研究院迈克尔逊奖。现在耗散结构理论和协同学通常被并称为自组织 理论。 我们首先从几个例子看一下究竟什么是耗散结构。天空中的云通常是不规则分布的，但有 时蓝天和白云会形成蓝白相间的条纹，叫做天街，这是一种云的空间结构。容器装有液体，上下 底分别同不同温度的热源接触，下底温度较上底高，当两板间温差超过一定阈值时，液体内部就 会形成因对流而产生的六角形花纹，这就是著名的贝纳德效应，它是流体的一种空间结构。在贝 洛索夫—一萨波金斯基反应中，当用适当的催化剂和指示剂作丙二酸的溴酸氧化反应时，反应介 质的颜色会在红色和蓝色之间作周期性变换，这类现象一般称为化学振荡或化学钟，是一种时间 结构。在某些条件下这类反应的反应介质还可以出现许多漂亮的花纹·，此即萨波金斯基花纹，它 展示的是一种空间结构。在另外一些条件下，萨波金斯基花纹会成同心圆或螺旋状向外扩散，象 波一样在介质中传播，这就是所谓化学波，这是一种时间一一空间结构。诸如此类的例子很多， 它们都属于耗散结构的范畴。 为了从各不相同的耗散结构实例中找出其本质的特征和规律，普里戈津学派研究了非平衡 热力学,继承和发展了前人关…………
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非线性1 -- 博客：路程 发表于2004-3-29 15:06:26
一个包含信息量大的复杂系统的状态，是由必然性和偶然性的结合而产生的。比如人类社会发展的历史，就是由社会发展的必然规律和一些偶然因素，像突然的天灾、战争的结果，有些统治者的个性、错误决策等等，这些都是带有偶然性的因素所决定。一个人的历史也是这样的，从出生到现在，可能考上那个学校，没考上这个学校，选择了这个专业没选择那个专业，或者生一次病等等很多偶然因素，这些都有可能决定后面的发展，每发生一次偶然事件，很可能就走上了一条不同的路。

　　什么叫非线性？就是作用和作用的效果，日常生活中非线性很多，去买一件衣服是这么多钱，买十件衣服一定给你打折扣，八折，就表示他不是按照比例来增长的。这就是一种非线性的作用。当然，日常生活中可以找出很多都是非线性作用的。有了非线性作用力的话，就会出现一些新的情况，就是某些反映系统性质的参量，就会呈指数上涨，可能会越来越多，比如散布一个谣言，一个传两个，两个传四个，最后就会指数上升，越传越多。

　　非线性相互作用，会产生一种正反馈，原来是多少，再反馈回来变得更大。比如喇叭正反馈，声音发出去再反馈回来，回到我这儿使它更放大，这个喇叭就要尖叫，这就是正反馈。这样就会造成系统不稳定，喇叭一尖叫，大家就不能工作了。在某些条件下，由于正反馈，就会使系统的长期行为作用的参数和系统的初始状态或者编辑条件非常敏感。就像成语所说的差之毫厘，失之千里。在另外的条件下，又可能在混乱中产生秩序，突发形成一些有序状态。

　　非线性相互作用，还会引起运动过程中的突变，比如冲击波、雪崩、地震、股市崩溃等等，突然发生的，都是因为非线性作用有一个正反馈的效应，一个很小的影响…………
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施爱东

混沌有其自身颇为古怪的几何学意义，它与被称为奇异吸引 子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明，奇异吸引子上的详细运 动不可预先确定，但这并末改变它是吸引子这个事实。设想一下如 果把一个 古 球抛进波 汹涌的大海，无论你从空中向下丢球，还 是从水下让球向上浮，球都会向海面运动。一旦到了海面之后，它 就在起伏的波浪中经历一个很复杂的运动路径，但不管这路径多 么复杂，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在这一图景里，海 面是吸引子。因此，尽管有混沌，不论出发点可能是什么，系统最终 将很接近它的吸引子。
　　

施爱东

混沌的特征：

总结混沌现象可知有如下几个基本特征：

1、  内在随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。

2、  初值敏感性：对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足够接近从它们出发的两条轨线在整个系统溟过程中都将保持足够接近。但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里”。下面的蝴蝶效应说明这一点。

3、  非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。

奇怪吸引子

1971年茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理论，并不只对湍流的研究有重要意义，而是对整个混沌理论的发展都有重要作用。一般的动力系统，最终都会趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所。

经典力学指出，有三种类型的吸引子。一种是稳定的不动点，它代表一个稳定定态；第二种是稳定的“极限环”，即相空间中的封闭轨线，在它外边的轨线都向里卷，在它里边的轨线都向外伸，都以这个封闭曲线为其极限状态。极限环代表一种稳定的周期运动；第三类吸引子是稳定的环面，代表系统的准周期运动。

对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身，其它的性态都是短暂的。所以吸引子的一个重要特征是“稳定性”，它表示着运动的最终趋向或“演化目标”，运动一旦进入吸引子，就不会再离开它；当一个小的扰动使系统暂时偏离吸引子后，它也必然会再返回来的。吸引子的另一个重要特征是“低维性”，它作为相空间的点集合，其维数必定小于相空间的维数。

上述几类吸引子，都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动。有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定于相空间的一个低维的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它绝不可能最终到达规则的有序运动；因而在它的吸引子内部，运动也是极不稳定的。在这种吸引子上，系统的行为呈现典型的随机性，是活跃易变和不确定的。更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果没有电子计算机这种高效工具，混沌吸引子是无法绘制出来的。所以茹勒和泰肯斯把它们称为“奇怪吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点，即非周期性——它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度。

洛仑兹所给出的那个绕两叶回转的永不重复的轨线，就是一个奇怪吸引子——“洛仑兹吸引子”。它是在三维空间里的一类双螺旋线；系统的轨道在其中的一叶上由外向内绕到中心附近，然后突然跳到另一叶的外缘由外向内绕行；然后又突然跳回原来的那一叶上。但每一叶都不是一个单层的曲面，而是有多层结构。从中取出任意小的一个部分，从更精细的尺度上看，又是多层的曲面。所以这种螺旋线真是高深莫测、复杂异常。它永远被限制在有限的空间内，却又永不交结，永无止境。1976年，德国的若斯勒考察了一个更为简化的洛仑兹方程

dx/dt=-(y+z)

dy/dt=x+ay

dz/dt=b+xz-cz

这个方程组的特点是只有最后一个方程中含有非线性项xz。若斯勒由这个方程组得出了一个洛仑兹吸引子的变种若斯勒吸引子。

它也是由很多层次构成的复杂几何图象。与洛仑兹吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是这样形成的：当z较小时，系统的轨道在(x，y)平面或平行于它的平面内向外旋；当x足够大时，z开始起作用，轨道在z轴方向拉长；当z变大后，dx/dt则变小，轨道又被拉回到x较小处。三个变量的交互作用，产生了轨线的复杂运动。

除此之外，混沌学家们还得到了一些其它的奇怪吸引子。可以断言，充分认识奇怪吸引子的作用，对许多问题的探索，都会有巨大的作用。不过，奇怪吸引子的数学理论是困难的，目前还处于起始的阶段。正像茹勒所说：“这些曲线的花样，这些点子的影斑，往往使人联想到五彩缤纷的烟火，或宽阔无垠的银河；也往往使人联想到奇怪的、令人烦躁不安的植物繁殖。一个崭新的领域展现在我们面前，其结构需要我们去探索，其协调（和谐）需要我们去发现。”

“蝴蝶效应”

无规性的源泉在于初始条件的选择。一个动力系统的行为或运动轨道决定于两个因素。一个是系统的运动演化所遵从的规律，如牛顿定律；一个是系统的初始状态，即初始条件。经典力学指出，一个确定性系统在给定了运动方程后，它的轨道就唯一地取决于初始条件，一组初始值只有一条轨道，这就是系统行为对初值的依赖性。

但是，任何测量都是有误差的，所以任何时候都不可能绝对精确地测定初始值。实验上给出的初值都只能是近似的。这个误差对系统的行为会不会有严重影响呢？经典力学断言，系统的行为或运动轨道对初值的依赖是不敏感的，知道了一个系统近似的初始条件，系统的行为就能够近似地计算出来。这就是说，从两组相接近的初值描绘出的两条轨道，会始终相互接近地在相空间里偕游并行，永远不会分道扬镳，泛泛的小影响不会积累起来形成一种大的效应。

混沌研究却粉碎了传统科学中这种对近似性和运动的收敛性的信仰。处在混沌状态的系统，或者更一般地说对于一个非线性系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。洛仑兹已经发现，从两组极相邻近的初始值出发的两条轨道，开始时似乎没有明显的偏离，但经过足够长的时间后，就会呈现出显著的差异来。这就是说，初值的微小差异，在运动过程中会逐渐被放大，终会导致运动轨道的巨大偏差，以至于这种偏差要多大就有多大。在科学实验中，一种变化过程可能有一个临界点，在这一点上，一个微小的扰动可能被放大成一个重大的变化。而在混沌中，这种点无处不在，确定性系统初值的微小差异导致了系统整体的混沌后果。

小的误差竟能带来巨大的灾难性后果，这一点早在1908年就被目光敏锐的庞加莱洞察到了。他在他的名著《科学与方法》中写道：

我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果是由于偶然性。如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容许我们以同样的近似度预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了，它受规律支配。但是，情况并非总是如此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象①。这一段几乎是百年前的话，不正是我们近几十年才揭开的混沌来源之谜吗？

洛仑兹从他关于长期天气预报的研究中悟出的正是这个道理。对于任何小块地区气候变化的误测，都会导致全球天气预报的迅速失真。不论气象观测站的网点如何密集，都不可能覆盖整个地球和从地面到高空的每一高度。在一尺之遥的空间范围内的一点气象涨落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空间，小误差通过一系列湍流式的链锁反应，集结起来而成十倍、百倍、千倍地膨胀扩大，终于使天气预报变成一派胡言，在跨洋隔洲的地区形成山雨欲来风满楼的景象。洛仑兹非常形象地比喻说：巴西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了几下翅膀，三个月后在美国的得克萨斯州引起了一场龙卷风。人们把洛仑兹的比喻戏称为“蝴蝶效应”。这个看法当时并不为气象学家们所接受。据说洛仑兹把“蝴蝶效应”说给他的一个朋友以说明长期天气预报不可能时，他的朋友回答说“预报不会成为问题”，“现在是要搞气象控制”。洛仑兹却不这样看，他认为，人工改变气候当然是可能的；但是当你这样做时，你就无法预测它会产生什么后果。

“斯梅尔马蹄”

简单的确定性系统如何会导致长期行为对初值的敏感依赖性呢？理解这一点的关键是要理解混沌的几何特性，即由系统内在的非线性相互作用在系统演化过程中所造成的“伸缩”与“折叠”变换。美国拓扑学家斯梅尔（Smale，Stephen 1930～）对此做出了重要贡献。

斯梅尔是一个杰出的拓扑学家，本来在多维拓扑学的一些最奇特的问题上已经卓有成就。1958年，他开始对动力系统的微分方程进行深入研究，并发表了一篇过于乐观的论文。他在这篇论文里提出了一个错误的猜想。他用极为严谨的数学语言论证说，一切动力系统最终都将进入一个并不十分奇异的行为；或者说，典型的动力学行为是定态的或周期的。虽然，一个动力系统可能会出现离奇古怪的性态，但斯梅尔认为这种性态不会是稳定的。后来斯梅尔曾回忆说：“我的过分乐观引导我在那篇论文里认为，几乎所有常微分方程系统都是这样一些（结构稳定的）系统！”他说如果他多少了解些庞加莱、伯克霍夫等人的文献，他就不会有那种愚蠢的思想。

1959年圣诞节后，斯梅尔一家正在巴西首都里约热内卢暂住，他接到了他的朋友莱文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是错误的，并告诉他自己关于受迫范德坡方程的研究已经提供了一个反例。早在本世纪20年代，德国物理学家范德坡（Van der Pol，B.）就已开始研究非线性电路的弛豫振荡问题，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德马克（Van der Mark，J.）发现了著名的“分频”现象。莱文松用这个反例说明，一个系统既有混沌又有稳定性，混沌与稳定性共存；系统的这种奇特性质并不为小的扰动所破坏。

当斯梅尔仔细研究了莱文松的文章，最后确信莱文松是对的时，他就把自己的猜想换成了另一个问题：典型的动力行为是什么？斯梅尔多年来是在拓扑学中进行探索的，他利用相空间对范德坡振子的全程可能性进行探索。他注意的并不只是单条的轨线，而是全空间的性态；他的直觉由这系统的物理本质跃进到一种新型的几何本质。他思考的是形状在相空间中的拓扑变换，例如拉伸或压缩变换。这些变换有明确的物理意义。如系统中的耗散，由于摩擦而丧失能量，意味着系统在相空间中的形状将会收缩，甚至可能最终完全静止下来收缩到一点。为了反映范德坡振子的全部复杂运动性态，他想到相空间必须经历一种新的变换组合。这使他从观察振子的总体行为提出了一种几何模型——“斯梅尔马蹄”。

斯梅尔马蹄的道理很简单。取一个正方形，把它拉伸为瘦长的矩形，再把它对折弯叠成马蹄形（图7）。然后想象把这马蹄嵌入一个新的矩形中，再重复相同的变换：挤压、折曲、拉伸……

这实际上就像厨师揉面团的操作过程：首先是伸缩变换，使面团在一个方向擀平压薄，同时在另一个方向上伸长；然后是折叠变换，将拉长的两块面对折叠置。这种操作反复进行下去。可以设想，开始时先在面团上擦一层红颜色，那么在厨师揉面过程中，红色层将被拉长、变薄、交叠起来。经过多次反复操作后，原来相邻近的两个红色粒子会越来越远地分离开去，原来不相邻近的两个红色粒子却可能越来越靠近了。

动力系统正是通过这两种变换而形成浑沌轨道几何图象的复杂性的。伸缩变换使相邻状态不断分离而造成轨道发散。但仅有伸缩变换还不足以扰乱相空间造成复杂性，还必须通过折叠变换。折叠是一种最强烈的非线性作用。伸缩和折叠的混合并不断反复，才可能产生动力系统相轨道的分离、汇合，产生无可预见的不规则运动。在混沌区内，相空间中的伸缩与折叠变换以不同的方式永不停息又永不重复地进行，从而造成了相轨道永不自交又永不相交的穿插盘绕、分离汇聚，完全“忘掉了”初始状态的一切信息，“丢弃了”未来与过去之间的一切联系，呈现出混沌运动。这就是系统长期行为对初值的敏感依赖性的源由。

本来，斯梅尔企图只用拉伸与挤压去解释一切动力系统的行为，而不用会大大损害系统稳定性的折叠变换。但是折叠是必要的，因为折叠使动力系统的行为有动力性态上的根本变化，是导致混沌的一种重要作用。斯梅尔马蹄给数学家和物理学家提供了一个对动力系统运动的可能性的直观理解的几何图象。